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Column vector

진트­ 2009. 6. 13. 00:40

요약

선형대수(linear algebra)에서 column vector나 column matrix는 m×1 행렬을 나타냅니다.즉, 행렬은 한개의 열에 m개의 엘리먼트들을 나타냅니다.

 

\[{\bf{x}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ \vdots \ {{x_n}} \ \end{array}} \right]\]

 

column vector에 transpose를 하면 row vector로 표현할 수 있습니다.

The set of all column vectors forms a vector space which is the dual space to the set of all row vectors.

 

수식

column vector를 간단한게 한 줄로 표기하기 위해서 row-vector를 transpose 시켜서 표기합니다.

 

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}^{\rm T}

또는

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{bmatrix}^{\rm T}

 

논문이나 책의 저자들이 standard matrix notation 표기법을 사용하기도 하지만, 다른 표기방법으로 row vector에서 각 element들을 comma(,)로 구분하거나, column vector의 element들을 ;로 구분해서 사용하기도 합니다. 이러한 alternative notation은 MATLAB에서 사용되기도 합니다.

  Row vector Column vector
Standard matrix notation \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{x_2}} & \ldots & {{x_m}} \ \end{array}} \right]\] \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ \vdots \ {{x_m}} \ \end{array}} \right]{\rm{ or }}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{x_2}} & \ldots & {{x_m}} \ \end{array}} \right]^T}\]
Alternative notation 1 \[\left[ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_m}} \right]\] \[{\left[ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_m}} \right]^T}\]
Alternative notation 2 \[\left[ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_m}} \right]\] \[\left[ {{x_1};{x_2}; \ldots ;{x_m}} \right]\]

 

 

연산

  • Maxtrix multiplication: row vector의 각 열과, column vector의 각 행을 곱하도록 한다.
  • dot product의 2개의 vector a, b는 row vector a와  column vector b의 곱을 나타냅니다.
    \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}

 

 

참고자료

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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